Mistä kaikesta lottovoitot syntyvät

Lotto on x satunnaisuuteen perustuva arpapeli, missä  satunnaisuus tarkoittaa yleensä tarkoituksen ja säännönmukaisuuden puutetta ja  satunnaista tapahtumaa ei voi ennustaa.  Nämä ovat tosiasioita, joita emme voi muuttaa.  Mutta, kun – Lotossa kuitenkin näyttää siltä, että satunnaisuudessa on jotain säännönmukaisuutta, toistuvuutta ja miljonäärejäkin syntyy vuosittain lisää.

Lotto perustuu matemaattisiin perussääntöihin, joihin on hyvä tutustua, mikäli haluaa ihan tarkasti ymmärtää loton salat. Mutta jo pienikin ymmärryksen lisäys antaa potkua omien numeroiden ja rivien valitsemiseen.  Tätä varten haluamme kertoa lähemmin, miten ja mihin perustuen lottovoitot syntyvät.  Seuraavassa kerromme lyhyesti peruselementeistä ja termeistä sekä siitä, miten loton voittorivit rakentuvat ja mitkä ovat voittamisen todennäköisyydet eri voittoluokissa. 

Loton todennäköisyyksien laskeminen edellyttää sitä, että voidaan laskea erilaisten voittoluokkien lukumäärät ja toisaalta tapahtumien kokonaislukumäärä. Tämän vuoksi tarvitaan erilaisia ns. kombinaatoorisia apuneuvoja ja tuloksia, joita tällaisissa laskelmissa voidaan käyttää.

N-kertoma

N-kertomalla tarkoitetaan yleisesti n:n ensimmäisen positiivisen kokonaisluvun tuloa 1*2*3*…*n . N-kertomaa merkitään yleensä n!. Lisäksi määritellään erityisesti, että 0!=1.  Tällöin esimerkiksi

3! = 1*2*3 = 6
4! = 1*2*3*4 = 24
5! = 1*2*3*4*5 = 120

N-kertoman avulla voidaan laskea esimerkiksi, kuinka monella eri tavalla esim numerot voidaan asettaa järjestykseen, jos kaikki numerot otetaan mukaan. Tästä käytetään nimitystä permutaatio. Kun numeroiden määrä kasvaa, kasvaa permutaatioiden määrä huomattavan nopeasti: Esimerkiksi 3 numeron joukko voidaan asettaa järjestykseen 3! = 6  eri tavalla ja vastaavasti seitsemän numeroa  7!  =  5040 eri tavalla!

Variaatiot ja kombinaatiot

Joskus ei järjestetä kaikkia numeroita, vaan halutaan järjestää erilaisia osajoukkoja eli ns variaatioita. Variaatioilla tarkoitetaan osajoukkoja. Jos tarkastelussa on  n kpl numeroita,  niistä voidaan valita k kpl numeroita (variaatioita)

Variaatioden lkm =  n!  / (n-k)!

Tällainen tilanne on kyseessä esimerkiksi silloin, jos halutaan tietää kuinka monella eri tavalla 3 numerosta {1,2,3} voidaan valita 2 numeroa samanaikaisesti.  Tässä tapauksessa siis n=3 ja k=2.  Erilaiset mahdolliset parit ovat  {1,2};{1,3};{2,1};{3,1};{2,3};{3,2}. Yhteensä pareja on 6 kappaletta. Sama tulos saadaan myös laskemalla:

Kannattaa huomata että n-kertoman avulla laskettava permutaatioiden lukumäärä tarkoittaa samaa kuin variaatioiden lukumäärä silloin, jos kaikki on n numeroa poimittaisiin. Joskus halutaan kuitenkin muodostaa niin kutsuttuja järjestämättömiä jonoja eli kombinaatioita. Tällöin ollaan kiinnostuneita siitä, montako erilaista yhdistelmää perusjoukosta voidaan valita. Alkioiden järjestyksellä ei siis ole merkitystä. Jos 4 numerosta {1,2,3,4} halutaan valita 2 numeron järjestämättömiä jonoja, niin yhdistelmät {1,2} ja {2,1} tulkitaan samoiksi kombinaatioiksi. Jos n:stä alkiosta halutaan muodostaa kaikki k:n alkion kombinaatiot, voidaan kombinaatioiden lukumäärä laskea binomikertoimen avulla seuraavasti:

Edelliset esimerkit selventävät kahta asiaa. Ensinnäkin, jos n ja k ovat pieniä, melko pienellä vaivalla voidaan muodostaa kaikki mahdolliset variaatiot tai kombinaatiot ja laskea niiden lukumäärät. Mutta kun n ja k kasvavat, mahdollisten yhdistelmien muodostamisesta alkaa tulla melko ylivoimainen urakka. Tämän vuoksi on kätevää jos yhdistelmien muodostamisen ja kokeilemisen sijaan voidaan yksinkertaisesti laskea, montako variaatiota tai kombinaatiota on mahdollista muodostaa. Toiseksi, jos n ja k pysyvät samoina, variaatioita on aina enemmän kuin kombinaatioita. Tämä johtuu tietenkin siitä, että jos perusjoukossa on neljä alkiota a, b, c, b, niin {a, b} ja {b, a} ovat eri variaatioita, mutta eivät eri kombinaatioita.

Lotossa tätä  laskentaa tarvitaan erilaisten voittotodennäköisyyksien laskennassa.

LOTON VOITTOLUOKAT JA TODENNÄKÖISYYDET

Lotto uudistui viimeksi joulukuussa 2016. Uudistettujen sääntöjen mukaan Lotto on numeroveikkaus, jossa arvotaan seitsemän (7) numeroa neljästäkymmenestä (40) ja yksi (1) lisänumero kolmestakymmenestä (30) numerosta.

Loton voittoluokat ovat: seitsemän (7) oikein, kuusi ja yksi lisänumero (6 + 1) oikein, kuusi (6) oikein, viisi (5) oikein, neljä (4) oikein, kolme ja yksi lisänumero (3+1) oikein, kolme (3) oikein.

Loton 40 numerosta voidaan valita seitsemän numeroa eri tavalla. Toisin sanoen erilaisia lottorivejä on olemassa 18 643 560 kappaletta. Näistä tarkalleen yhdessä on täysosuma eli 7 oikein. Erilaisten lottorivien lukumäärä esiintyy seuraavissa todennäköisyyksissä, jotka on muodostettu kombinaatio-opin säännöillä.

  Loton sääntöjen sisältö pähkinänkuoressa 2016 jälkeen:

• Lotossa on käytössä 40 numeroa.
• Lotossa arvotaan seitsemän varsinaista numeroa ja yksi lisänumero.
• Päävoiton todennäköisyys on nyt 1:18 643 560.
• Lottoon tulee uusi voittoluokka 3 ja lisänumero oikein. Tuloksella voittaa 2 euroa.
• Loton Tuplausta pelaavilla on jatkossa tuplausnumeron osuessa riviin 3 oikein -voittoluokka, jonka voitto on 2 euroa.
• Lottorivin hinta pysyy yhdessä eurossa. Tuplauksen hinta nousee 25 sentistä 30 senttiin.

Uudistetun Loton myynti alkoi 27. marraskuuta 2016 ja ensimmäinen arvonta suorittiin 3. joulukuuta 2016 (kierros 48/2016).  Tämän jälkeen eri voittoluokkien rivimäärät ja niiden todennäköisyydet lasketaan 

Oheisessa taulukossa on kuvattu Loton eri tulosten todennäköisyydet. Todennäköisyys saavuttaa mikä tahansa voittava tulos yhdellä pelirivillä on noin 1:49,6 ja Plussaa pelanneilla noin 1:19.

Lottorivejä on  yhteensä 18 643 560 kappaletta.  Tämä määrä syntyy siitä päätöksestä, että arvotaan 7 numeroa 40:stä vaihtoehdosta ja vaihtoehtoisia erilaisia rivejä on yhteensä tuo määrä.  Yllä olevassa taulussa laskutapasarakkeen merkintä esim. C(7,6) tarkoittaa 7! / 6!*(7-6)! kuten aiemmin on selvitetty.